Método da substituição

Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.

Exemplo: 2x + y = 5
2x + 3y = 2

1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.
2x + y = 6 \ 2x + y = 6 \ y = 6 – 2x
2x + 3y = 2

2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.

2x + 3y = 2
2x + 3.( 6 – 2x ) = 2
2x + 18 – 6x = 2
- 4x = 2 – 18
- 4x = - 16
- x = -16/4
- x = - 4 . ( - 1 )
x = 4

3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y = 6 – 8
y = -2

4º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }

Fonte : http://www.vestibular1.com.br/

Sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas

 Quando duas equações de 1º grau com duas incógnitas são escritas ligadas pelo conectivo e ,dizemos que há um sistema  de duas equações de 1º grau com duas incógnitas(no caso,x  e y).
 x + y = 14
4x + 2y = 48
 Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo,
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema.

Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo:


Fonte: http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/sistema-equacao.htm

Diferença de Juro simples a Juro composto

  Observe a seguinte situação para entender a diferença entre esses dois tipos de juros.
 Calos recebeu seu 13º salário e colocou R$ 1.000,00 em uma aplicação que rendia 1% ao mês de juro.Após 6 meses,qual a quantia que Carlos terá na aplicação?
 Considerando juro simples:
Início: 1.000,00
1% de 1.000 = 10                        ==  R$ 1.000,00 + R$ 60,00 = R$ 1.060,00
6 meses: 6 x 10,00 = 60,00
     Após 6 meses Carlos terá R$ 1.060,00 na aplicação.

  Juros Compostos - São acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando com esta soma um novo capital.

 Fonte : http://www.alunosonline.com.br/matematica/juros.html

Juro simples

 Quando uma pessoa pede dinheiro emprestrado a outra pessoa  ou a um banco,ela paga uma compensação em dinheiro pelo tempo que fica com o dinheiro emprestado.
 Quando se compra uma mercadoria a prestação,paga-se um acréscimo pelo tempo correspondente ao número de prestações.
  Quando alguém aplica dinheiro em um banco,recebe uma compensação pelo tempo em que está emprestando o dinheiro ao banco.
  Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo chama-se juro e corresponde sempre a uma porcentegem do valor do empréstimo ou da compra.
 Assim podemos dizer que:
   Toda compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado juro.

Equação do 1º grau com uma icógnita

 Observe os seguintes exemplos:

           1. Qual a raiz da equação 9x-3 = 5x no conjunto lR?
              
                   9x-3 = 5x
                   9x = 5x + 3 -> Usando o princípio aditivo (adicionamos 3 aos dois membros).
                   9x-5x = 3 -> Usamos o princípio aditivo (adicionamos -5x aos dois membros).
                   4x = 3
                   x = 3\a -> Usamos o princípio multiplicativo (multiplicamos os dois membros por membros por  1\4)
             A raiz da equação é o número real 3\4.

            2. Resolva a equação 5.(x+2) - 3.(x+6) = 40 no conjunto lR.

                    5(x+2) - 3(x+6) = 40
                    5x + 10-3x-18 = 40 -> Eliminamos os parênteses.
                    2x-8 = 40
                    2x = 40 + 8 -> Usamos o princípio aditivo (adicionamos 8 aos dois membros)
                    2x = 48
                    x = 48\2
                    x = 48\2 -> Usando o princípio multiplicativo (multiplicamos os dois membros por 1\2)
                    x = 24
                       O número real 24 é a solução da equação.

                    

Simplificando Frações algébricas

 A simplificação das frações númericas não é novidade para vocês.Mas vamos recordá-las,Simplificando a fração:

• 

 Pra simplificar frações algébricas,usamos o mesmo procedimento:

1. Simplifique a fração algébrica: 2abc \ 5abx  => 2.a.b.c \ 5.a.b.x = 2c \ 5x

2. Simplifique a fração algébrica:

3. Simplifique a fração algébrica:

Fonte: http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracoes-algebricas.htm

Multiplicação e divisão de frações algébricas

 Vamos recordar a multiplicação e a divisão de frações numéricas.Primeiro observe o exemplo de multiplicação de frações numéricas:

1. Calcule: 3\7 . 2\5 => 3\7 . 2\5 = 3.2\7.5 = 6\35

 Obs: Para multiplicar frações numéricas,multiplicamos os numerdores entre si e os denominadores entre si.
 Sempre que possível,simplificamos o resultado.


 Agora,acompanhe os exemplos de divisão de frações numéricas:

1. Calcule: 2\5 : 3\7 => 2\5 : 3\7 = 2\5 . 7\3 = 14\15
2. Calcule: 7\10 : 3\5 => 7\10 : 3\5 = 7\10 . 5\3 = 7\6

 Obs: Para dividir uma fração numérica por outra fração não nula,mutiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda.


  Para multiplicar ou dividir frações algébricas,procedemos da mesma maneira.Observe:

1. Calcule:  
2. Calcule:        
3. Calcule:

                  

Adição e Subtração de Frações Algébricas

 Para adicionar ou subtrair frações algébricas,usamos o mesmo método aplicado para as frações numéricas,ou seja:

• Escrevemos frações equivalentes às frações dadas e que tenham o mesmo denominador.
• Esse denominador comum pode ser o m.m.c dos denominadores das frações.
• Adicionamos ou subtraímos os novos numeradores,mantendo o denominador comum.
• Simplificamos o resultado obtido,quando possível.

 Observe os exemplos:

Estudo das Frações

 Somando frações:  Exemplos:

•  2\3 + 5\3 = 7\3
• 4\5 + 1\2 = 8\10 + 5\10 = 13\10
• 7\3 + 5\2 = 14\6 + 15\6 = 29\6

Subtraindo Frações: Exemplos:

• 7\2 - 3\2 = 4\2 = 2
• 5\3 - 1\2 = 10\6 - 3\6 = 7\6
• 9\5 - 6\2 = 18\10 - 30\10 = -12\10 = -6\5

Além das simples frações que já vimos também há as frações algébricas. Mais oque são frações algébricas?

  Um quociente de dois polinômios,indicado na forma fracionária,na qual uma ou mais variáveis aparecem no denominador sem que estejam dentro de radicais,chama-se fração algébrica.

Exemplos de frações algébricas:

• x-y \ ab
• a \ a+b
• 2ax \ by

Observações:

O denominador de uma fração algébrica deve representar sempre um número real diferente de zero,pois não tem sentido dividir por zero.Assim:

• Na fração 2\x,devemos ter x diferente de 0

Quando o numerador for divisível pelo denominador,a fração algébrica será igual a um polinômio.

• 12ax\3x = 4a

Trinômios Quadrados Perfeitos

 Vamos tomar como base esse Trinômio: 16x² + 8x + 1


Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 16x² + 8x + 1 é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio é 16x² + 8x + 1 é (4x + 1)², pois é a soma das raízes ao quadrado.

Obs: Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

Fatoração por agrupamento

 Agrupamento é o método pelo quais simplificamosuma expressão algébrica,agrupando os termos semelhantes.Observe o exeplo a seguir:
ax+bx+ay+by

• ax+bx+ay+by=  agrupamos os termos que possuem fator comum em evidência.
• = x(a+b)+y(a+b)= Em cada grupo colocamos os fatores comuns em evidência.
• = (a+b)(x+y)=  Colocamos,novamente,em evidência o fator comum.

Outro exemplo:
mx-nx+2m-2n.

mx-nx + 2m-2n= x(m-n)+2(m-n)= (m-n).(x+2)
Então,(m-n).(x+2) é a forma forma fatorada de mx-nx+2m-2n.

Elen Lays

Cálculo do m.m.c de polinômios

 Uma das aplicações imediatas da fatoração é a determinação do mínimo múltiplo comum(m.m.c)de dois ou mais polinômios.Exemplos:

*x² - 4, 2x + 4 e x²
*x– 2x² – 4 = (x + 2) . (x - 2 )*2x + 4 = 2 . ( x + 2 )
x²
=
*m.m.c. = 2x . ( x+2 ) . ( x – 2 ) ou 2x . (x– 2x = x . ( x -2 )² - 4)Deteminando o m.m.c do polinômio: a³+a² e a³+2a² + a.
Fatorando cada polinômio-
*a³+a² = a².(a +1)
*a³+2a²+a=a.(a²+2a+1)=a.(a+1)²}
*m.m.c=a².(a+1)²

Usando a fatoração para resolver equações

 Se x.y = 0,então x = 0 ou y = 0

   Considerando isso podemos resolver as equações :

    1.    x²-16 = 0
Essa equação é uma diferença de quadrados,temos: x²-16= 0 equivalente a (x+4 raiz de x²-16  )(x-4) = 0 equivalente  x+4=0 ; x= -4 ou x-4 = 0 ; x= 4.

  2.   x²+7x= 0

 x.(x+7) = 0              colocando o fator x em evidência.

x.(x+7) = 0 equivalente a  x=0 ou x+7=0 ; x= -7